Calculer le périmètre d’un rectangle

Le périmètre d’un rectangle correspond à la longueur de son contour. Autrement dit, il s’agit de la distance à parcourir pour faire le tour complet de la figure. Cette notion est utilisée en géométrie, mais aussi dans des situations très concrètes : installer une clôture autour d’un terrain, poser une bordure dans un jardin ou calculer la longueur de ruban nécessaire pour entourer un cadeau.

Le calcul est simple, à condition de bien identifier les dimensions du rectangle et de ne pas confondre le périmètre avec l’aire. Voici une méthode claire pour comprendre la formule, l’appliquer et éviter les erreurs fréquentes.

Qu’est-ce qu’un rectangle ?

Un rectangle est un quadrilatère, c’est-à-dire une figure qui possède quatre côtés. Ses côtés opposés sont parallèles et ont la même longueur. Il possède également quatre angles droits.

Dans un rectangle, on distingue généralement :

• la longueur, souvent notée L, qui correspond au côté le plus long ;

• la largeur, souvent notée l, qui correspond au côté le plus court.

La longueur et la largeur doivent être exprimées dans la même unité avant de commencer le calcul. Par exemple, si la longueur est donnée en mètres et la largeur en centimètres, il faudra effectuer une conversion.

Il ne faut pas oublier que le carré est un cas particulier de rectangle. Ses quatre côtés ont la même longueur. La formule du périmètre reste donc valable, même si un calcul plus court peut être utilisé.

La formule du périmètre d’un rectangle

Pour calculer le périmètre d’un rectangle, il faut additionner la longueur de ses quatre côtés :

Périmètre = longueur + largeur + longueur + largeur

Comme les côtés opposés sont égaux, on peut simplifier cette addition :

P = 2 × (L + l)

Cette formule signifie qu’il faut additionner la longueur et la largeur, puis multiplier le résultat par 2.

Pourquoi multiplier par 2 ? Le rectangle possède deux longueurs identiques et deux largeurs identiques. On peut donc écrire :

• deux fois la longueur : 2 × L ;

• deux fois la largeur : 2 × l.

Le périmètre peut alors aussi s’écrire :

P = 2 × L + 2 × l

Les deux formulations donnent exactement le même résultat. La formule P = 2 × (L + l) est souvent la plus pratique à retenir.

La méthode en trois étapes

Pour réussir un exercice, il est utile de suivre toujours la même méthode. Cela permet de limiter les oublis et de présenter un raisonnement clair.

• Repérer les dimensions : relever la longueur et la largeur indiquées dans l’énoncé.

• Vérifier les unités : convertir les mesures si elles ne sont pas exprimées dans la même unité.

• Appliquer la formule : remplacer les lettres par les nombres, effectuer le calcul et ajouter l’unité adaptée.

Une rédaction complète peut prendre cette forme :

Le périmètre est égal à 2 × (L + l).
P = 2 × (8 + 3) = 2 × 11 = 22 cm.
Le périmètre du rectangle est donc de 22 cm.

Cette présentation montre la formule, les valeurs utilisées et la réponse finale. Elle est particulièrement utile dans un devoir, car un résultat sans explication peut être considéré comme incomplet.

Exemple avec des centimètres

Un rectangle mesure 8 cm de longueur et 3 cm de largeur. Quel est son périmètre ?

On connaît :

• L = 8 cm ;

• l = 3 cm.

On applique la formule :

P = 2 × (L + l)

P = 2 × (8 + 3)

P = 2 × 11 = 22 cm

Le périmètre de ce rectangle est donc de 22 cm.

On peut aussi vérifier le résultat en additionnant les quatre côtés :

8 + 3 + 8 + 3 = 22 cm

Cette vérification permet de confirmer que la formule a été correctement utilisée.

Exemple avec des mètres

Une cour rectangulaire mesure 12 m de longueur et 7 m de largeur. On souhaite installer une clôture tout autour. Quelle longueur de clôture faut-il prévoir ?

Les deux dimensions sont déjà exprimées en mètres. Il suffit donc de calculer :

P = 2 × (12 + 7)

P = 2 × 19 = 38 m

Il faudra prévoir 38 mètres de clôture.

Dans une situation réelle, on peut prévoir quelques centimètres ou mètres supplémentaires pour tenir compte des découpes, des raccords ou de la pose. En revanche, dans un exercice scolaire, on donne généralement la valeur exacte obtenue avec la formule.

Ne pas confondre périmètre et aire

La confusion entre le périmètre et l’aire est l’une des erreurs les plus fréquentes en géométrie. Ces deux grandeurs ne mesurent pas la même chose.

Le périmètre mesure la longueur du contour de la figure. Il s’exprime en unités simples :

• millimètres : mm ;

• centimètres : cm ;

• mètres : m ;

• kilomètres : km.

L’aire mesure la surface située à l’intérieur de la figure. Elle s’exprime en unités carrées :

• centimètres carrés : cm² ;

• mètres carrés : m² ;

• kilomètres carrés : km².

Pour un rectangle, la formule de l’aire est :

A = longueur × largeur

Prenons un rectangle de 8 cm sur 3 cm :

• son périmètre est de 22 cm ;

• son aire est de 24 cm².

Les nombres sont différents et les unités ne sont pas les mêmes. Le périmètre concerne le contour, tandis que l’aire concerne la surface. Pour s’en souvenir, on peut imaginer une clôture autour d’un terrain : la clôture correspond au périmètre, alors que l’espace à l’intérieur correspond à l’aire.

Attention aux unités de mesure

Avant de calculer un périmètre, les dimensions doivent être exprimées dans la même unité. Il est impossible d’additionner directement 4 m et 50 cm sans effectuer une conversion.

Par exemple, un rectangle mesure 4 m de longueur et 50 cm de largeur. On peut convertir les mètres en centimètres :

4 m = 400 cm

Le calcul devient alors :

P = 2 × (400 + 50)

P = 2 × 450 = 900 cm

Le périmètre est de 900 cm. On peut aussi convertir le résultat en mètres :

900 cm = 9 m

Le périmètre est donc de 9 m.

Une autre méthode consiste à convertir les centimètres en mètres :

50 cm = 0,5 m

On obtient alors :

P = 2 × (4 + 0,5) = 2 × 4,5 = 9 m

Les deux méthodes donnent le même résultat. L’essentiel est de ne pas mélanger les unités pendant le calcul.

Les erreurs fréquentes à éviter

Quelques erreurs reviennent souvent dans les exercices sur le périmètre du rectangle. Les connaître aide à les éviter.

• Utiliser la formule de l’aire : multiplier la longueur par la largeur donne une aire, pas un périmètre.

• Oublier le facteur 2 : additionner seulement la longueur et la largeur ne permet pas de faire le tour complet du rectangle.

• Ajouter une seule longueur et deux largeurs : les quatre côtés doivent être pris en compte.

• Mélanger les unités : les mesures doivent être converties avant l’addition.

• Oublier l’unité dans la réponse : un périmètre de 26 sans unité n’est pas une réponse complète.

• Confondre le périmètre avec la longueur d’un seul côté : le périmètre correspond au contour entier.

Une petite vérification mentale peut être utile. Le périmètre doit être plus grand que deux fois la longueur et plus grand que deux fois la largeur. Si un rectangle mesure 10 cm sur 4 cm, un résultat de 14 cm est impossible : il correspond seulement à une longueur et une largeur additionnées.

Que faire lorsque le dessin n’est pas à l’échelle ?

Dans un exercice de géométrie, le rectangle représenté peut sembler très allongé ou presque carré. Pourtant, il ne faut pas mesurer le dessin avec une règle si les dimensions sont données dans l’énoncé.

Un schéma sert principalement à visualiser la situation. Il n’est pas toujours réalisé à l’échelle. Il faut donc utiliser les valeurs indiquées, même si elles ne semblent pas correspondre exactement aux proportions du dessin.

Par exemple, si l’énoncé indique une longueur de 6 cm et une largeur de 2 cm, le calcul doit être effectué avec ces deux valeurs. La taille du rectangle imprimé sur la feuille n’a pas d’importance.

Quand une seule dimension est donnée

Il arrive qu’un exercice ne donne pas directement la longueur et la largeur. Il faut alors utiliser une information complémentaire.

Si le rectangle est un carré, un seul côté suffit, car les quatre côtés ont la même mesure. Pour un carré de côté 5 cm :

P = 4 × 5 = 20 cm

On peut aussi retrouver une dimension grâce au périmètre. Supposons qu’un rectangle ait un périmètre de 30 cm et une longueur de 10 cm. Pour trouver la largeur, on utilise :

P = 2 × (L + l)

On remplace les valeurs connues :

30 = 2 × (10 + l)

On divise d’abord par 2 :

15 = 10 + l

Il reste :

l = 15 – 10 = 5 cm

La largeur mesure donc 5 cm.

Dans ce type d’exercice, il est important de lire attentivement la question. Le calcul du périmètre ne consiste plus seulement à appliquer directement la formule : il faut parfois la transformer pour retrouver une dimension manquante.

Un moyen simple de mémoriser la formule

Pour retenir la formule, on peut se raconter une petite histoire : « Je fais le tour du rectangle. Je prends une longueur et une largeur, puis je refais le même trajet de l’autre côté. »

Cela donne :

une longueur + une largeur, le tout deux fois

Donc :

P = 2 × (L + l)

Une autre astuce consiste à dessiner rapidement un rectangle, à écrire la longueur sur les deux côtés horizontaux et la largeur sur les deux côtés verticaux, puis à additionner les quatre valeurs. Cette méthode est un peu plus longue, mais elle aide les élèves qui oublient la formule.

À retenir pour réussir un exercice

• Le périmètre mesure le contour d’un rectangle.

• La formule est P = 2 × (longueur + largeur).

• Il faut utiliser la même unité pour toutes les dimensions.

• Le résultat d’un périmètre s’exprime en cm, m, km ou dans une autre unité de longueur, jamais en cm² ou en m².

• Il ne faut pas confondre périmètre et aire.

• Une réponse bien rédigée présente la formule, le calcul et l’unité.

Avec cette méthode, le calcul du périmètre d’un rectangle devient rapidement un automatisme. Le plus important est de comprendre ce que l’on cherche : si l’on mesure le tour de la figure, on calcule un périmètre ; si l’on mesure l’espace qu’elle contient, on calcule une aire. Une fois cette distinction maîtrisée, les exercices deviennent beaucoup plus simples.