Les homothéties font partie des transformations géométriques étudiées au collège et au lycée. Elles permettent d’agrandir ou de réduire une figure tout en conservant sa forme. Un plan, une photographie, une carte ou encore un dessin technique peuvent être représentés à une autre échelle grâce à ce principe.
Pour réussir les exercices, il faut surtout comprendre le rôle du centre, du rapport d’homothétie et des longueurs. Une fois ces éléments maîtrisés, les calculs deviennent beaucoup plus simples. Voici une méthode claire pour réviser les homothéties et éviter les erreurs fréquentes.
Qu’est-ce qu’une homothétie ?
Une homothétie est une transformation géométrique qui transforme une figure en une figure de même forme, mais généralement de taille différente. Elle s’effectue à partir d’un point fixe appelé centre de l’homothétie.
Imaginez une lampe qui projette l’ombre d’un objet sur un mur. L’objet et son ombre ont souvent la même forme, mais l’ombre est plus grande ou plus petite. Le point de la lampe joue alors un rôle comparable au centre de l’homothétie.
Une homothétie est définie par deux éléments :
- un centre, souvent noté O ;
- un nombre relatif appelé rapport, souvent noté k.
Le rapport indique si la figure est agrandie, réduite ou éventuellement retournée. Il permet aussi de calculer les nouvelles longueurs.
Le rôle du centre de l’homothétie
Le centre est un point essentiel. Pour chaque point de la figure de départ, son image se trouve sur la même droite que le centre et le point de départ.
Par exemple, si le point A devient le point A’ par une homothétie de centre O, alors les points O, A et A’ sont alignés.
Cette propriété permet de construire une figure image. Pour placer le point A’, il faut :
- tracer la droite passant par O et A ;
- mesurer la distance entre O et A ;
- multiplier cette distance par la valeur absolue du rapport ;
- placer A’ du bon côté du centre selon le signe du rapport.
Les autres points de la figure sont construits de la même manière. Si l’on transforme un triangle ABC, on obtient généralement un triangle A’B’C’ avec :
- O, A et A’ alignés ;
- O, B et B’ alignés ;
- O, C et C’ alignés.
Comprendre le rapport d’homothétie
Le rapport d’homothétie est noté k. Il indique la position de l’image et le changement de taille de la figure.
Il existe plusieurs situations à connaître.
Lorsque k est supérieur à 1
Si k > 1, la figure est agrandie. L’image se trouve du même côté du centre que le point initial.
Par exemple, avec un rapport k = 3, chaque longueur est multipliée par 3. Un segment de 4 cm devient donc un segment de 12 cm.
Lorsque k est compris entre 0 et 1
Si 0 < k < 1, la figure est réduite. L’image reste du même côté du centre que la figure de départ.
Avec un rapport k = 0,5, toutes les longueurs sont divisées par 2. Un segment de 8 cm devient un segment de 4 cm.
Lorsque k est négatif
Si le rapport est négatif, l’image se trouve de l’autre côté du centre. La figure peut être agrandie ou réduite selon la valeur absolue du rapport.
Par exemple, avec k = -2, les longueurs sont multipliées par 2, mais l’image est placée de l’autre côté du centre. Avec k = -0,5, les longueurs sont divisées par 2 et l’image se trouve également de l’autre côté.
Lorsque k = 1
Avec k = 1, chaque point reste à sa place. La figure ne change pas.
Lorsque k = 0
Avec k = 0, tous les points de la figure sont envoyés vers le centre O. La figure image est alors réduite à un seul point.
Agrandissement ou réduction : comment les reconnaître ?
Pour savoir s’il s’agit d’un agrandissement ou d’une réduction, il suffit d’observer la valeur absolue du rapport.
- Si |k| > 1, il s’agit d’un agrandissement.
- Si 0 < |k| < 1, il s’agit d’une réduction.
- Si |k| = 1, les longueurs sont conservées.
Le signe du rapport ne détermine donc pas la taille de la figure. Il indique surtout la position de l’image par rapport au centre.
Cette distinction est importante. Un rapport de 2 et un rapport de -2 produisent tous les deux un agrandissement par 2. En revanche, les figures images ne se placent pas du même côté du centre.
Les longueurs et les homothéties
Une homothétie transforme toutes les longueurs selon le même facteur. Si un segment AB devient un segment A’B’, alors :
A’B’ = |k| × AB
On utilise la valeur absolue du rapport pour calculer une longueur, car une longueur est toujours positive.
Exemple : une homothétie de rapport k = -3 transforme un segment AB de 5 cm.
On calcule :
A’B’ = |-3| × 5 = 3 × 5 = 15 cm
Le segment image mesure donc 15 cm. Le signe négatif indique seulement que l’image est située de l’autre côté du centre.
Autre situation : le segment AB mesure 18 cm et son image A’B’ mesure 6 cm. Pour trouver le rapport, on écrit :
|k| = A’B’ ÷ AB = 6 ÷ 18 = 1/3
La valeur absolue du rapport est donc 1/3. Pour connaître le signe, il faut observer la position des points par rapport au centre.
Les propriétés à retenir
Les homothéties possèdent plusieurs propriétés très utiles dans les exercices.
- Les points correspondants et le centre sont alignés.
- Les longueurs sont multipliées par la valeur absolue du rapport.
- Les droites sont transformées en droites.
- Une droite qui passe par le centre reste la même droite.
- Les angles sont conservés.
- Le parallélisme est conservé.
- Une figure et son image ont la même forme.
On dit qu’une homothétie conserve les angles. Un triangle rectangle reste donc rectangle. Un carré reste un carré, même si ses côtés deviennent plus longs ou plus courts.
En revanche, les longueurs ne sont pas toujours conservées. C’est ce qui distingue l’homothétie d’une translation ou d’une rotation.
Homothétie et triangles semblables
Deux figures obtenues par homothétie sont des figures semblables. Elles ont la même forme, mais pas nécessairement les mêmes dimensions.
Dans le cas de deux triangles semblables, les angles correspondants sont égaux et les longueurs correspondantes sont proportionnelles.
Par exemple, si un triangle ABC est transformé en triangle A’B’C’ par une homothétie de rapport 2, alors :
- A’B’ = 2 × AB ;
- A’C’ = 2 × AC ;
- B’C’ = 2 × BC.
Si le triangle de départ possède des côtés de 3 cm, 4 cm et 5 cm, le triangle image possède des côtés de 6 cm, 8 cm et 10 cm. Les deux triangles ont la même forme, mais le second est deux fois plus grand.
Comment construire une image par homothétie ?
Dans un exercice de construction, il est conseillé de travailler point par point. Prenons une figure ABC et une homothétie de centre O.
Voici une méthode simple :
- Repérer le centre O et les points A, B et C.
- Tracer les droites OA, OB et OC.
- Calculer les distances OA’, OB’ et OC’ à partir du rapport.
- Placer les points images A’, B’ et C’.
- Relier les points images dans le même ordre.
Avec un rapport positif, les points images sont placés dans le même sens à partir du centre. Avec un rapport négatif, ils sont placés sur les demi-droites opposées.
La précision du tracé compte beaucoup. Utilisez une règle, un compas et, si nécessaire, une équerre. Une construction approximative peut donner une figure qui semble correcte, mais qui ne respecte pas exactement le rapport demandé.
Exemple détaillé avec un rapport positif
On considère un point A situé à 4 cm du centre O. On applique une homothétie de centre O et de rapport k = 2,5.
Le point image A’ doit être placé sur la même demi-droite que A. Sa distance au centre est :
OA’ = 2,5 × OA = 2,5 × 4 = 10 cm
Le point A’ se trouve donc à 10 cm de O, dans la même direction que A.
Si un autre point B se situe à 3 cm de O sur une autre demi-droite, alors :
OB’ = 2,5 × 3 = 7,5 cm
Il suffit ensuite de placer B’ à 7,5 cm du centre, puis de relier A’ et B’ si AB est un segment de la figure.
Exemple détaillé avec un rapport négatif
Un point A est situé à 6 cm du centre O. On applique une homothétie de rapport k = -0,5.
La distance à l’image est :
OA’ = |-0,5| × 6 = 3 cm
Comme le rapport est négatif, A’ est placé de l’autre côté du centre. Il se trouve donc à 3 cm de O, sur la demi-droite opposée à celle qui contient A.
Cette situation est souvent source d’erreur. Certains élèves utilisent correctement 0,5 pour calculer la distance, mais oublient de changer de côté. Pensez donc à séparer les deux informations :
- la valeur absolue du rapport donne la distance ;
- le signe du rapport donne le côté où placer le point image.
Les erreurs fréquentes à éviter
Les exercices sur les homothéties sont accessibles, mais quelques confusions reviennent régulièrement.
- Oublier le centre : les points correspondants doivent toujours être alignés avec le centre.
- Confondre le rapport et sa valeur absolue : le signe négatif ne change pas la longueur calculée, mais il change la position de l’image.
- Inverser le calcul : pour trouver une image, on multiplie par le rapport en valeur absolue. Pour retrouver une longueur de départ, on divise par cette valeur.
- Placer une image du mauvais côté : un rapport positif conserve le côté, tandis qu’un rapport négatif l’inverse.
- Modifier les angles : une homothétie conserve la forme et les angles.
- Mesurer au lieu de calculer : sur une figure, la lecture graphique peut être imprécise. Le calcul reste prioritaire.
Une méthode de révision efficace
Pour progresser, ne vous contentez pas d’apprendre une formule. Entraînez-vous à identifier les informations utiles dans chaque exercice.
Avant de commencer un calcul, posez-vous ces questions :
- Quel est le centre de l’homothétie ?
- Quel est le rapport k ?
- Le rapport est-il positif ou négatif ?
- La figure est-elle agrandie ou réduite ?
- Quelle longueur est connue ?
- Quelle longueur faut-il déterminer ?
Vous pouvez également réaliser une fiche de révision avec trois colonnes : valeur du rapport, effet sur la taille, position de l’image.
- k = 2 : agrandissement par 2, même côté.
- k = 0,25 : réduction, même côté.
- k = -3 : agrandissement par 3, côté opposé.
- k = -0,5 : réduction par 2, côté opposé.
Enfin, vérifiez toujours si votre résultat est logique. Une figure transformée par un rapport de 0,2 ne peut pas devenir plus grande. De même, une longueur ne peut pas être négative. Ce petit contrôle permet souvent de repérer une erreur avant de rendre la copie.
À retenir pour le contrôle
Une homothétie transforme une figure en une figure de même forme. Elle dépend d’un centre et d’un rapport k.
- Les points correspondants sont alignés avec le centre.
- Les longueurs sont multipliées par |k|.
- Si |k| > 1, il y a agrandissement.
- Si 0 < |k| < 1, il y a réduction.
- Le signe positif conserve le côté par rapport au centre.
- Le signe négatif place l’image de l’autre côté du centre.
- Les angles et la forme sont conservés.
Avec ces repères, les homothéties deviennent beaucoup plus faciles à identifier et à construire. Prenez le temps de faire un schéma, d’écrire la formule et de vérifier le rôle du signe : trois réflexes simples qui peuvent faire gagner de nombreux points.