Les inéquations font partie des notions importantes en mathématiques, au collège comme au lycée. Elles ressemblent aux équations, mais elles ne cherchent pas toujours une seule valeur. Leur objectif est de trouver toutes les valeurs qui rendent une inégalité vraie.
Au début, les symboles <, >, ≤ et ≥ peuvent sembler simples. Pourtant, une erreur fréquente consiste à oublier de changer le sens de l’inégalité lorsqu’on multiplie ou divise par un nombre négatif. C’est souvent à ce moment que les difficultés commencent.
Avec une méthode claire et quelques réflexes, les inéquations deviennent beaucoup plus faciles. Voici les règles essentielles, les erreurs à éviter et plusieurs exemples pour réviser efficacement.
Qu’est-ce qu’une inéquation ?
Une inéquation est une relation mathématique qui contient une inconnue, souvent notée x, et un symbole de comparaison.
Les principaux symboles sont :
- < : strictement inférieur à ;
- > : strictement supérieur à ;
- ≤ : inférieur ou égal à ;
- ≥ : supérieur ou égal à.
Par exemple :
3x + 2 > 11
Cette écriture signifie que l’on cherche les valeurs de x pour lesquelles 3x + 2 est supérieur à 11.
Dans une équation comme 3x + 2 = 11, on recherche généralement une valeur précise. Dans une inéquation, il existe souvent une infinité de solutions. Par exemple, si la solution est x > 3, tous les nombres supérieurs à 3 conviennent : 3,1 ; 4 ; 10 ; 100, et ainsi de suite.
La règle principale : transformer sans modifier l’équilibre
Pour résoudre une inéquation, on cherche à isoler l’inconnue d’un côté du signe de comparaison. On peut effectuer les mêmes opérations des deux côtés, comme pour une équation.
Il est possible :
- d’ajouter un même nombre aux deux membres ;
- de soustraire un même nombre aux deux membres ;
- de multiplier les deux membres par un nombre positif ;
- de diviser les deux membres par un nombre positif.
Dans ces quatre situations, le signe de l’inégalité ne change pas.
Exemple :
x + 5 ≤ 12
On soustrait 5 des deux côtés :
x + 5 – 5 ≤ 12 – 5
On obtient :
x ≤ 7
La solution est donc l’ensemble des nombres inférieurs ou égaux à 7.
Le cas essentiel : multiplier ou diviser par un nombre négatif
C’est la règle à retenir absolument : lorsqu’on multiplie ou que l’on divise les deux membres d’une inéquation par un nombre négatif, il faut inverser le signe.
Les signes se transforment ainsi :
- < devient > ;
- > devient < ;
- ≤ devient ≥ ;
- ≥ devient ≤.
Prenons l’exemple suivant :
-2x > 8
Pour isoler x, on divise par -2. Comme le diviseur est négatif, on inverse le signe :
x < 8 ÷ (-2)
Donc :
x < -4
La solution est l’ensemble des nombres strictement inférieurs à -4.
Une petite astuce peut aider : lorsque vous voyez une division par un nombre négatif, entourez le signe de l’inégalité et écrivez à côté « inversion ». Ce simple réflexe évite de nombreuses erreurs pendant un contrôle.
Résoudre une inéquation du premier degré
Une inéquation du premier degré contient l’inconnue à la puissance 1. Elle peut généralement se résoudre en quelques étapes.
Voici une méthode simple :
- développer et réduire si nécessaire ;
- regrouper les termes contenant x d’un côté ;
- regrouper les nombres de l’autre côté ;
- diviser par le coefficient de x ;
- inverser le signe si ce coefficient est négatif ;
- vérifier le résultat avec une valeur test.
Exemple :
4x – 7 < 13
On ajoute 7 aux deux membres :
4x < 20
On divise par 4. Comme 4 est positif, le signe ne change pas :
x < 5
La solution est donc x < 5.
Vérification avec x = 3 :
4 × 3 – 7 = 5
Or 5 est bien inférieur à 13. La valeur test convient.
Un exemple avec un coefficient négatif
Étudions maintenant une situation où le signe doit être inversé :
7 – 3x ≥ 16
On commence par soustraire 7 aux deux membres :
-3x ≥ 9
On divise ensuite par -3. Le signe s’inverse :
x ≤ -3
La solution est donc l’ensemble des nombres inférieurs ou égaux à -3.
Vérifions avec x = -4 :
7 – 3 × (-4) = 7 + 12 = 19
Et 19 est bien supérieur ou égal à 16. La solution semble correcte.
En revanche, si vous choisissez x = 0, vous obtenez 7, qui n’est pas supérieur ou égal à 16. Cela confirme que les nombres situés au-dessus de -3 ne font pas partie des solutions.
Représenter une solution sur une droite graduée
La droite graduée permet de visualiser rapidement l’ensemble des solutions.
Pour représenter x > 2 :
- on place le nombre 2 sur la droite ;
- on dessine un cercle vide, car 2 n’est pas compris dans la solution ;
- on hachure ou on trace une flèche vers la droite, car les nombres recherchés sont supérieurs à 2.
Pour représenter x ≥ 2 :
- on place le nombre 2 ;
- on utilise un cercle plein, car 2 fait partie des solutions ;
- on dirige la flèche vers la droite.
La différence entre > et ≥ est donc visible grâce au cercle. Un cercle vide signifie que la borne n’est pas incluse. Un cercle plein signifie qu’elle est incluse.
De la même manière, x < -1 se représente avec un cercle vide en -1 et une flèche vers la gauche. Pour x ≤ -1, le cercle devient plein.
Écrire la solution sous forme d’intervalle
Au lycée, on demande souvent d’écrire les solutions avec des intervalles.
Voici les principales correspondances :
- x > 3 s’écrit ]3 ; +∞[ ;
- x ≥ 3 s’écrit [3 ; +∞[ ;
- x < 3 s’écrit ]-∞ ; 3[ ;
- x ≤ 3 s’écrit ]-∞ ; 3].
Une parenthèse ou un crochet tourné vers l’extérieur indique que la borne n’est pas comprise. Un crochet tourné vers l’intérieur indique qu’elle est comprise.
Attention : les symboles +∞ et -∞ ne sont jamais inclus dans un intervalle. On utilise donc toujours un crochet ouvert du côté de l’infini.
Les inéquations avec des parenthèses
Avant d’isoler l’inconnue, il faut parfois développer les expressions.
Exemple :
2(x + 3) > 14
On peut d’abord développer :
2x + 6 > 14
On soustrait 6 :
2x > 8
On divise par 2 :
x > 4
La solution est donc ]4 ; +∞[.
Il est aussi possible de diviser directement par 2 au début, puisque 2 est positif :
x + 3 > 7
Puis :
x > 4
Les deux méthodes donnent le même résultat. Choisissez celle qui vous semble la plus claire et prenez le temps de rédiger chaque étape.
Les erreurs fréquentes à éviter
Les erreurs dans les inéquations viennent rarement d’un calcul très compliqué. Elles sont souvent liées à un oubli de règle ou à une rédaction trop rapide.
- Oublier d’inverser le signe : c’est l’erreur la plus courante lorsque l’on divise par un nombre négatif.
- Confondre cercle plein et cercle vide : le signe d’inégalité indique si la borne appartient ou non aux solutions.
- Se tromper dans les signes lors du déplacement : plutôt que de dire qu’un terme « passe de l’autre côté », écrivez l’opération réalisée. Cela évite les oublis.
- Ne pas vérifier : une valeur test permet de repérer rapidement une erreur.
- Mal lire la question : dans un problème, il faut parfois respecter une condition supplémentaire, comme une longueur positive ou un nombre entier.
Par exemple, si vous cherchez une durée, une distance ou un nombre de personnes, une solution négative n’a généralement pas de sens dans le contexte. Les mathématiques donnent une solution, mais l’énoncé permet de savoir si cette solution est acceptable.
Inéquation et problème concret
Les inéquations servent à traduire des situations de la vie courante.
Exemple : une place de cinéma coûte 8 euros. Vous disposez de 50 euros et vous souhaitez acheter plusieurs places. Si n représente le nombre de places, l’inégalité est :
8n ≤ 50
On divise par 8 :
n ≤ 6,25
Comme n représente un nombre entier de places, vous pouvez acheter au maximum 6 places.
Le résultat mathématique est n ≤ 6,25, mais la réponse adaptée au problème est 6 places maximum. Il ne serait pas très pratique d’acheter 6,25 billets, même avec beaucoup de bonne volonté !
Autre exemple : un élève veut obtenir au moins 12 de moyenne. Il a déjà une note de 9 et une seconde note x, avec des coefficients identiques. On écrit :
(9 + x) ÷ 2 ≥ 12
On multiplie par 2 :
9 + x ≥ 24
On soustrait 9 :
x ≥ 15
Il devra donc obtenir au moins 15 à la seconde évaluation pour atteindre une moyenne de 12.
Comment réviser efficacement les inéquations ?
Pour progresser, relisez d’abord la règle sur le changement de signe. Ensuite, entraînez-vous avec des exercices de difficulté progressive.
- Commencez par des inéquations comme x + 4 < 10.
- Poursuivez avec des coefficients, par exemple 5x – 2 ≥ 18.
- Ajoutez ensuite des coefficients négatifs, comme -4x + 3 < 15.
- Travaillez les parenthèses et les expressions développées.
- Terminez par des problèmes où il faut interpréter la réponse.
Pour chaque exercice, gardez la même organisation : une ligne par étape, le signe recopié avec attention et une vérification finale. Si vous faites une erreur, ne vous contentez pas de regarder la correction. Cherchez le moment précis où le raisonnement a changé de direction.
Quelques exercices pour s’entraîner
Essayez de résoudre les inéquations suivantes avant de regarder les réponses :
- 3x + 1 ≤ 10
- 5 – 2x > 13
- 4(x – 2) ≥ 12
- -3(x + 1) < 9
Les solutions sont :
- Pour 3x + 1 ≤ 10, on obtient x ≤ 3.
- Pour 5 – 2x > 13, on obtient -2x > 8, puis x < -4 après inversion du signe.
- Pour 4(x – 2) ≥ 12, on obtient x – 2 ≥ 3, puis x ≥ 5.
- Pour -3(x + 1) < 9, on divise par -3 et on inverse le signe : x + 1 > -3, donc x > -4.
Si vous retenez une seule idée, retenez celle-ci : le signe d’une inéquation ne change que lorsqu’on multiplie ou que l’on divise par un nombre négatif. En appliquant cette règle avec méthode, en représentant les solutions et en vérifiant vos résultats, vous gagnerez rapidement en confiance.