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Révision : multiplier et diviser des nombres relatifs

Valerie
Révision : multiplier et diviser des nombres relatifs

Révision : multiplier et diviser des nombres relatifs

Multiplier et diviser des nombres relatifs devient beaucoup plus simple lorsque l’on connaît les règles de signe. Pourtant, de nombreux élèves se trompent encore : ils additionnent les signes, oublient qu’un nombre négatif peut être écrit entre parenthèses ou appliquent la règle de l’addition à une multiplication. Bonne nouvelle : avec une méthode régulière et quelques réflexes, ces calculs peuvent être réalisés rapidement et sans hésitation.

Dans cet article, vous trouverez les règles essentielles, des exemples détaillés et des astuces pour éviter les erreurs les plus fréquentes. L’objectif n’est pas seulement de retenir une phrase, mais de comprendre comment procéder à chaque étape.

Reconnaître un nombre relatif

Un nombre relatif est un nombre positif ou négatif. Il peut être entier ou décimal. Les nombres positifs sont supérieurs à zéro et les nombres négatifs sont inférieurs à zéro.

Le signe « + » est parfois supprimé lorsqu’il s’agit d’un nombre positif. Ainsi, +5 et 5 désignent le même nombre. En revanche, le signe « – » doit toujours être conservé pour un nombre négatif.

Dans une expression comme (-3) × (+4), les signes placés devant les nombres indiquent leur nature. Les parenthèses permettent de bien distinguer les nombres et les opérations. Elles sont particulièrement utiles lorsqu’un nombre négatif intervient dans un calcul.

La règle des signes pour une multiplication

Pour multiplier deux nombres relatifs, il faut effectuer deux opérations distinctes :

La règle des signes est la suivante :

Pour retenir cette règle plus facilement, on peut utiliser la phrase suivante : des signes identiques donnent un résultat positif, des signes différents donnent un résultat négatif.

On peut aussi la présenter sous la forme d’un tableau :

Multiplier deux nombres relatifs : la méthode

Pour éviter les erreurs, il est préférable de suivre toujours les mêmes étapes :

Prenons l’exemple suivant :

(-6) × (+5)

Les signes sont différents : le résultat sera donc négatif. On calcule ensuite 6 × 5 = 30. Le résultat est donc :

(-6) × (+5) = -30

Autre exemple :

(-8) × (-3)

Les deux signes sont identiques. Le résultat sera positif. On calcule 8 × 3 = 24. Donc :

(-8) × (-3) = +24

Le signe « + » peut être supprimé dans la réponse. On écrira généralement 24 plutôt que +24.

Le cas particulier de zéro

Tout nombre multiplié par zéro donne zéro. Cette règle est valable quel que soit le signe du nombre :

Il est inutile de chercher le signe du résultat dans ce cas : le résultat est toujours zéro. Cette propriété permet parfois de simplifier rapidement une expression.

Attention toutefois à ne pas confondre multiplication par zéro et division par zéro. La multiplication par zéro est possible. En revanche, une division par zéro n’existe pas en mathématiques.

Multiplier plusieurs nombres relatifs

Lorsqu’une multiplication comporte plusieurs facteurs, il faut compter le nombre de signes négatifs :

Par exemple :

(-2) × (-3) × (+4)

Il y a deux facteurs négatifs. Deux est un nombre pair : le résultat sera positif. On calcule ensuite :

2 × 3 × 4 = 24

Donc :

(-2) × (-3) × (+4) = 24

Observons maintenant :

(-5) × (+2) × (-1) × (-3)

Cette expression contient trois facteurs négatifs : -5, -1 et -3. Trois est un nombre impair, le résultat sera donc négatif. Pour les valeurs numériques :

5 × 2 × 1 × 3 = 30

Le résultat est :

(-5) × (+2) × (-1) × (-3) = -30

Une bonne habitude consiste à compter les signes négatifs avant de commencer les calculs. Cela évite de modifier le signe du résultat en cours de route.

La règle des signes pour une division

La division suit exactement la même règle de signes que la multiplication :

On peut donc retenir :

Comme pour la multiplication, les signes identiques donnent un résultat positif et les signes différents donnent un résultat négatif.

Diviser deux nombres relatifs : la méthode

Pour effectuer une division, on suit quatre étapes simples :

Exemple :

(-36) ÷ (+4)

Les signes sont différents, le quotient sera donc négatif. On calcule 36 ÷ 4 = 9. Ainsi :

(-36) ÷ (+4) = -9

Autre exemple :

(-45) ÷ (-5)

Les signes sont identiques, le quotient sera positif. Comme 45 ÷ 5 = 9, on obtient :

(-45) ÷ (-5) = 9

Quand le résultat de la division n’est pas entier

Une division de nombres relatifs ne donne pas toujours un nombre entier. La règle des signes reste la même, même lorsque le résultat est décimal ou fractionnaire.

Par exemple :

(-7) ÷ (+2)

Les signes sont différents, le résultat est négatif. Comme 7 ÷ 2 = 3,5, on obtient :

(-7) ÷ (+2) = -3,5

Avec une fraction, on peut écrire :

(-7) ÷ (+2) = -7/2

Le signe négatif peut être placé devant la fraction. Il est également possible de l’écrire au numérateur, mais une seule écriture suffit.

Les erreurs les plus fréquentes

Les erreurs viennent rarement du calcul numérique lui-même. Elles concernent surtout les signes et l’ordre des opérations.

Confondre multiplication et addition

Dans une addition, deux nombres négatifs donnent un résultat négatif. Dans une multiplication, deux signes négatifs donnent un résultat positif. Il ne faut donc pas appliquer la règle de l’addition à une multiplication.

Par exemple :

Oublier le signe du diviseur

Dans une division, il faut observer le signe des deux nombres. Le signe du premier nombre ne suffit pas pour déterminer le résultat.

(+20) ÷ (-5) donne un résultat négatif, car les signes sont différents.

Écrire un signe négatif au mauvais endroit

Dans une expression comme -3 × -5, il est préférable d’ajouter des parenthèses : (-3) × (-5). La lecture devient plus claire et le risque d’erreur diminue.

Oublier qu’un résultat positif n’a pas forcément besoin du signe « + »

Écrire +18 n’est pas faux, mais on écrit généralement simplement 18. En revanche, un résultat négatif doit conserver son signe.

Le rôle des parenthèses

Les parenthèses ne changent pas la valeur d’un nombre. Elles servent à rendre l’expression plus lisible, surtout lorsqu’un nombre négatif est associé à une opération.

Comparez les deux écritures :

La deuxième écriture est plus claire. Elle montre immédiatement que l’on multiplie deux nombres négatifs.

Les parenthèses sont également indispensables dans certaines expressions plus longues :

(-2) × [(+5) – (-3)]

Dans ce type de calcul, il faut d’abord effectuer ce qui se trouve entre les crochets, puis réaliser la multiplication. Les règles de priorité des opérations restent valables : on calcule d’abord les parenthèses, puis les multiplications et les divisions, avant les additions et les soustractions.

Une astuce pour vérifier son résultat

Après avoir calculé, prenez quelques secondes pour vérifier le signe. Cette vérification rapide permet de repérer de nombreuses erreurs.

Posez-vous deux questions :

Vous pouvez également vérifier la partie numérique séparément. Pour (-72) ÷ (+8), on contrôle d’abord que 72 ÷ 8 = 9, puis que des signes différents donnent un résultat négatif. Le quotient est donc bien -9.

Cette méthode est particulièrement utile lors d’un contrôle. Elle ne demande que quelques secondes, mais elle peut éviter une erreur qui ferait perdre des points.

Entraînement rapide

Essayez de calculer les expressions suivantes avant de regarder les réponses :

Les résultats sont :

La méthode à retenir

Pour multiplier ou diviser des nombres relatifs, ne mélangez pas le calcul des signes et le calcul des nombres. Commencez par observer les signes, puis calculez les valeurs numériques.

Le meilleur moyen de progresser reste l’entraînement régulier. Quelques calculs chaque jour permettent de transformer ces règles en automatismes. Avec les parenthèses, une vérification du signe et une méthode toujours identique, les nombres relatifs deviennent rapidement beaucoup moins inquiétants.

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