Le théorème de Pythagore est l’un des résultats les plus utilisés en géométrie. Il permet de calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle lorsque les deux autres longueurs sont connues. On le retrouve dans les exercices de mathématiques, mais aussi dans des situations concrètes : mesurer une diagonale, vérifier qu’un angle est droit ou déterminer la distance la plus courte entre deux points.
Pour bien l’utiliser, il faut toutefois respecter certaines règles. Le théorème de Pythagore ne s’applique pas à tous les triangles. Il concerne uniquement les triangles rectangles. La première étape consiste donc toujours à repérer l’angle droit.
Qu’est-ce qu’un triangle rectangle ?
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. Cet angle mesure 90 degrés. Il est souvent représenté par un petit carré placé dans l’angle concerné.
Dans un triangle rectangle, les côtés portent des noms particuliers :
- Les deux côtés qui forment l’angle droit sont appelés les côtés de l’angle droit ou les cathètes.
- Le côté situé en face de l’angle droit est appelé l’hypoténuse.
L’hypoténuse est toujours le côté le plus long du triangle. Cette remarque est très utile pour éviter les erreurs : si le résultat obtenu pour l’hypoténuse est plus petit que l’un des autres côtés, le calcul comporte forcément une erreur.
Par exemple, dans un triangle ABC rectangle en A, l’angle droit se trouve en A. Les côtés AB et AC forment cet angle. Le côté BC, situé en face de A, est donc l’hypoténuse.
La formule du théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore s’énonce ainsi :
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors le côté BC est l’hypoténuse. On écrit :
BC² = AB² + AC²
Le petit exposant ² signifie « au carré ». Ainsi :
- BC² signifie BC × BC ;
- AB² signifie AB × AB ;
- AC² signifie AC × AC.
Cette formule peut sembler abstraite au début. En réalité, elle suit toujours le même principe : on prend le carré de chaque longueur, puis on additionne les carrés des deux petits côtés pour obtenir le carré de l’hypoténuse.
Comment reconnaître l’hypoténuse ?
La principale difficulté des élèves n’est pas toujours le calcul. Il s’agit souvent d’identifier correctement l’hypoténuse.
Pour la trouver, il suffit de suivre deux étapes :
- Repérer l’angle droit.
- Chercher le côté qui se trouve en face de cet angle.
Il ne faut pas choisir l’hypoténuse uniquement parce qu’elle semble être le côté le plus long sur le dessin. Une figure peut ne pas être représentée à l’échelle. Le bon repère reste toujours l’angle droit.
Une astuce simple consiste à imaginer une flèche qui part de l’angle droit et traverse le triangle. Le côté touché par cette flèche est l’hypoténuse.
Calculer l’hypoténuse : un exemple simple
Considérons un triangle ABC rectangle en A. On connaît les longueurs suivantes :
- AB = 3 cm ;
- AC = 4 cm.
On cherche BC, qui est l’hypoténuse. On applique le théorème de Pythagore :
BC² = AB² + AC²
On remplace les lettres par les valeurs :
BC² = 3² + 4²
On calcule les carrés :
BC² = 9 + 16
On obtient :
BC² = 25
Pour trouver BC, il faut prendre la racine carrée de 25 :
BC = √25 = 5 cm
L’hypoténuse mesure donc 5 cm. Ce triangle correspond à un exemple très connu : le triangle de longueurs 3, 4 et 5. Ces trois nombres forment un triplet pythagoricien, c’est-à-dire trois longueurs qui peuvent constituer un triangle rectangle.
Pourquoi faut-il utiliser la racine carrée ?
Lorsque l’on applique le théorème, on obtient souvent la valeur de la longueur au carré. Par exemple, si l’on trouve BC² = 49, on ne peut pas répondre que BC mesure 49 cm. Il faut revenir à la longueur elle-même en calculant :
BC = √49 = 7 cm
La racine carrée permet de retrouver le nombre qui, multiplié par lui-même, donne le résultat obtenu. La racine carrée de 49 est donc 7, car 7 × 7 = 49.
Quelques racines carrées utiles à connaître sont :
- √4 = 2 ;
- √9 = 3 ;
- √16 = 4 ;
- √25 = 5 ;
- √36 = 6 ;
- √49 = 7 ;
- √64 = 8 ;
- √81 = 9 ;
- √100 = 10.
Lorsque le résultat n’est pas un carré parfait, on peut utiliser la calculatrice. Il faut alors respecter la consigne d’arrondi donnée dans l’exercice.
Calculer un autre côté du triangle
Le théorème de Pythagore permet aussi de calculer un côté de l’angle droit lorsque l’hypoténuse et l’autre côté sont connus.
Reprenons la formule :
BC² = AB² + AC²
Si l’on cherche AC, il faut isoler AC² :
AC² = BC² – AB²
On effectue donc une soustraction, et non une addition.
Exemple : un triangle ABC est rectangle en A. On connaît :
- BC = 13 cm, l’hypoténuse ;
- AB = 5 cm.
On cherche AC.
AC² = BC² – AB²
AC² = 13² – 5²
AC² = 169 – 25
AC² = 144
On prend la racine carrée :
AC = √144 = 12 cm
Le côté AC mesure donc 12 cm. Le triangle possède ici les longueurs 5, 12 et 13, qui forment également un triplet pythagoricien.
La méthode en quatre étapes
Pour résoudre un exercice, une méthode régulière permet de limiter les oublis. Prenez l’habitude de rédiger les étapes, même si le calcul vous semble facile.
- Identifier le triangle rectangle : repérez l’angle droit et nommez le triangle concerné.
- Repérer l’hypoténuse : elle se trouve en face de l’angle droit.
- Écrire la formule : utilisez les lettres du triangle avant de remplacer par les nombres.
- Calculer puis donner l’unité : n’oubliez pas la racine carrée et indiquez le résultat en centimètres, mètres ou toute autre unité adaptée.
Une rédaction complète peut ressembler à ceci :
« Le triangle ABC est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore, BC² = AB² + AC². Donc BC² = 3² + 4² = 25. Ainsi, BC = √25 = 5 cm. »
Cette présentation montre que vous avez compris le raisonnement. Elle permet aussi de repérer plus facilement une erreur si le résultat ne correspond pas à ce qui est attendu.
Les erreurs les plus fréquentes
Plusieurs erreurs reviennent régulièrement dans les exercices sur le théorème de Pythagore.
- Appliquer le théorème à un triangle qui n’est pas rectangle : la formule ne fonctionne pas dans un triangle quelconque.
- Se tromper d’hypoténuse : elle est toujours en face de l’angle droit.
- Oublier les carrés : il faut écrire 5², et non simplement 5.
- Oublier la racine carrée : trouver AB² = 36 signifie que AB = 6, pas 36.
- Additionner au lieu de soustraire : pour calculer un côté de l’angle droit, on soustrait le carré connu au carré de l’hypoténuse.
- Oublier les unités : une longueur s’exprime en cm, m, km, etc.
- Arrondir trop tôt : gardez plusieurs chiffres pendant les calculs, puis arrondissez uniquement à la fin.
Un autre point important concerne les unités. Si une longueur est donnée en mètres et une autre en centimètres, il faut d’abord les convertir dans la même unité. Les carrés rendent les mélanges encore plus problématiques. 2 m ne doit pas être utilisé directement avec 50 cm : il faut choisir une unité commune.
La réciproque du théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore sert à calculer une longueur dans un triangle rectangle. Sa réciproque sert à vérifier si un triangle est rectangle.
La réciproque s’énonce ainsi :
Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
Exemple avec un triangle dont les côtés mesurent 6 cm, 8 cm et 10 cm. Le plus grand côté mesure 10 cm.
On calcule :
10² = 100
et :
6² + 8² = 36 + 64 = 100
Les deux résultats sont égaux. Le triangle est donc rectangle, et son hypoténuse mesure 10 cm.
Il est indispensable de comparer le carré du plus grand côté avec la somme des carrés des deux autres. On ne choisit pas un côté au hasard.
La contraposée : prouver qu’un triangle n’est pas rectangle
La contraposée permet de montrer qu’un triangle n’est pas rectangle. Si le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle n’est pas rectangle.
Prenons un triangle dont les côtés mesurent 4 cm, 5 cm et 6 cm.
Le plus grand côté est 6 cm :
6² = 36
La somme des carrés des deux autres côtés vaut :
4² + 5² = 16 + 25 = 41
Comme 36 est différent de 41, le triangle n’est pas rectangle.
Une application dans la vie quotidienne
Imaginez un écran, un terrain ou une pièce rectangulaire. Vous connaissez sa longueur et sa largeur, mais vous souhaitez mesurer la diagonale. La diagonale forme un triangle rectangle avec deux côtés du rectangle. Le théorème de Pythagore permet donc de la calculer.
Pour une pièce de 3 mètres sur 4 mètres :
d² = 3² + 4²
d² = 9 + 16 = 25
d = 5 mètres
La diagonale mesure 5 mètres. Cette méthode peut aussi servir à vérifier si une étagère peut être installée en diagonale dans une pièce, à calculer la longueur d’une échelle appuyée contre un mur ou à estimer la distance directe entre deux points.
Un exercice pour s’entraîner
Un triangle DEF est rectangle en D. On connaît DE = 9 cm et DF = 12 cm. Calculer EF.
Commencez par identifier l’hypoténuse : EF est en face de l’angle droit D.
On applique le théorème :
EF² = DE² + DF²
EF² = 9² + 12²
EF² = 81 + 144 = 225
On calcule la racine carrée :
EF = √225 = 15 cm
La longueur EF est donc de 15 cm.
Pour progresser, entraînez-vous à faire varier la question : parfois, l’exercice demandera l’hypoténuse ; parfois, il faudra calculer un autre côté ; dans d’autres cas, il faudra vérifier si le triangle est rectangle. Le dessin, l’identification de l’angle droit et l’écriture de la formule restent les trois réflexes essentiels.
